線性代數課件（系列11篇）_線性代數課件
發表時間：2024-01-28線性代數課件（系列11篇）。
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》》研究生備考的硝煙正在彌漫，一場戰役馬上打響。在考研數學的三門課里，高等數學，線性代數，概率統計每一門課都有其自己的特點，線性代數這門課的特點又是什么呢？專家們接下來為考研同學做一個全面的講解。具體來說，主要有以下幾個方面：如果和高等數學做個比較，我們把高等數學看作是一個連續性的推理過程，線性代數就是一個跳躍性的推理過程，在做題時表現的會很明顯。同學們在做高等數學的題時，從第一步到第二步到第三步在數學式子上一個一個等下去很清晰，但是同學們在做線性代數的題目時從第一步到第二步到第三步經常在數學式子上看不出來，比如行列式的計算，從第幾行（或列）加到哪行（列）很多時候很難一下子看出來。
線性代數這門課對考生的抽象能力的要求特別的高，大綱要求主要考查的有抽象行列式的計算，抽象矩陣求逆，抽象矩陣求秩，抽象行列式求特征值與特征向量，這四種抽象題型也是考研線性代數每年常出的題型，占有很大的比重，需要考生對相應知識點非常的'熟悉并且會靈活地運用，就這就要求考生有較高的綜合能力，也是線性代數的一個比較突出的特點。
線性代數的前后知識的連續性強完全是由它自身的知識體系和邏輯推理方式來決定的，很多同學也都說線性代數的公式概念結論特別的多，前后聯系特別的緊密，在做一個題時，如果有一個公式或者結論不知道，后面的過程就無法做下去，其實這也符合考研大綱的要求的考生運用所學的知識分析問題和解決問題的能力。
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1、行列式的重點是計算，利用性質熟練準確的計算出行列式的值。
2、矩陣中除可逆陣、伴隨陣、分塊陣、初等陣等重要概念外，主要也是運算，其運算分兩個層次：
（1）矩陣的符號運算。
（2）具體矩陣的數值運算。
3、關于向量，證明（或判別）向量組的線性相關（無關），線性表出等問題的關鍵在于深刻理解線性相關（無關）的概念及幾個相關定理的掌握，并要注意推證過程中邏輯的正確性及反證法的使用。
4、向量組的極大無關組，等價向量組，向量組及矩陣的秩的概念，以及它們相互關系也是重點內容之一。用初等行變換是求向量組的極大無關組及向量組和矩陣秩的有效方法。
5、于特征值、特征向量，要求基本上有三點：
（1）要會求特征值、特征向量，對具體給定的數值矩陣，一般用特征方程OλE-AO=0及（λE-A）ξ=0即可，抽象的由給定矩陣的特征值求其相關矩陣的特征值（的取值范圍），可用定義Aξ=λξ，同時還應注意特征值和特征向量的性質及其應用。
（2）有關相似矩陣和相似對角化的問題，一般矩陣相似對角化的條件。實對稱矩陣的相似對角化及正交變換相似于對角陣，反過來，可由A的特征值，特征向量來確不定期A的參數或確定A，如果A是實對稱陣，利用不同特征值對應的.特征向量相互正交，有時還可以由已知λ1的特征向量確定出λ2（λ2≠λ1）對應的特征向量，從而確定出A.
（3）相似對角化以后的應用，在線性代數中至少可用來計算行列式及An.
6、將二次型表示成矩陣形式，用矩陣的方法研究二次型的問題主要有兩個：
（1）化二次型為標準形，這主要是正交變換法（這和實對稱陣正交相似對角陣是一個問題的兩種提法），在沒有其他要求的情況下，用配方法得到標準形可能更方便些。
（2）二次型的正定性問題，對具體的數值二次型，一般可用順序主子式是否全部大于零來判別，而抽象的由給定矩陣的正定性，證明相關矩陣的正定性時，可利用標準形，規范形，特征值等到證明，這時應熟悉二次型正定有關的充分條件和必要條件。
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線性代數占考研數學總分值的22%，約34分，以2個選擇題、1個填空題、2個解答題的形式出現。雖然線性代數的考點眾多，但要把這5個題目的分值完全收入囊中，則需要進行重點題型重點突破。
矩陣的秩
矩陣是解決線性方程組的解的有力工具，矩陣也是化簡二次型的方便工具。矩陣理論是線性代數的重點內容，熟悉掌握了矩陣的相關性質與內容，利用其來解決實際應用問題就變得簡單易行。正因為矩陣理論在整個線性代數中的重要作用，使它變為考試考查的重點。矩陣由那么多元素組成，每一個元素都在扮演不同的角色，其中的核心或主角是它的秩！
通過幾十年考研考試命題，命題老師對題目的形式在不斷地完善，這也要求大家深入理解概念，靈活處理理論之間的關系，能變通地解答題目。例如對矩陣秩的理解，對矩陣的秩與向量組的秩之間的關系的理解，對矩陣等價與向量組等價之間區別的理解，對矩陣的秩與方程組的解之間關系的掌握，對含參數的矩陣的處理以及反問題的解決能力等，都需要在對概念理解的基礎上，聯系地看問題，及時總結結論。
矩陣的特征值與特征向量
矩陣的特征值與特征向量在將矩陣對角化過程中起著決定作用，也是將二次型標準化、規范化的便捷方式，故特征值與特征向量也是考查重點。對于特征值與特征向量，須理清其相互關系，也須能根據一些矩陣的特殊性求得其特征值與特征向量（例如根據矩陣各行元素之和為3能夠判斷3是其一個特征值，元素均為1的列向量是其對應的特征向量），會處理含參數的情況。
線性方程組求解
對線性方程組的求解總是通過矩陣來處理，含參數的方程組是考查的重點，對方程組解的`結構及有解的條件須熟悉。例如2010年第20題（數學二為22題），已知三元非齊次線性方程組存在2個不同的解，求其中的參數并求方程組的通解。此題的關鍵是確定參數！而所有信息完全隱含在"AX=b存在2個不同的解"這句話中。由此可以得到齊次方程組有非0解，系數矩陣降秩，行列式為0，可求得矩陣中的參數；非齊次方程組有解故系數矩陣與增廣矩陣同秩可確定唯一參數及b中的參數。至于確定參數后再求解非齊次方程組就變得非常簡單了。
二次型標準化與正定判斷
二次型的標準化與矩陣對角化緊密相連，即與矩陣的特征值與特征向量緊密聯系。這里需要掌握一些處理含參數矩陣的方法以便運算中節省時間。正定二次型有很優秀的性質，但畢竟這是一類特殊矩陣，判斷一個矩陣是否屬于這個特殊類，可以使用正定矩陣的幾個充要條件，例如二次型矩陣的特征值是否全大于0，順序主子式是否均大于0等，但前者更常用一些。
歷年考研數學真題解析線性代數命題特點解析
考研數學是研究生招生入學考試中通過筆試的形式對考生數學功底的考查，從近幾年的考研數學歷年真題分析結果來看，可以得出一個結論：線性代數的難度在高數和概率統計之間，且大多數的同學認為線性代數試題難度不大，就是計算量稍微偏大點，線代代數的考查是對基本方法的考查，但是往往在做題過程中需要利用一些性質進行輔助解決。
線性代數的學科特點是知識點之間的綜合性比較強，這也是它本身的一個難點。這就需要同學們在復習過程中，注意對于知識點間的關聯性進行對比著學習，有助于鞏固知識點且不易混淆。
總體來說，線性代數主要包括六部分的內容，行列式、矩陣、向量、線性方程組、特征值與特征向量、二次型。
一、行列式部分，熟練掌握行列式的計算。
行列式實質上是一個數或含有字母的式子，如何把這個數算出來，一般情況下很少用行列式的定義進行求解，而往往采用行列式的性質將其化成上或下三角行列式進行計算，或是采用降階法（按行或按列展開定理），甚至有時兩種方法同時用。此外范德蒙行列式也是需要掌握的。行列式的考查方式分為低階的數字型矩陣和高階抽象行列式的計算、含參數的行列式的計算等等。同學們只要掌握了基本方法即可。
二、矩陣部分，重視矩陣運算，掌握矩陣秩的應用。
通過考研數學歷年真題分類統計與考點分布，矩陣部分的考點集中在逆矩陣、伴隨矩陣、矩陣的秩及矩陣方程的考查。此外，含隨矩陣的矩陣方程，矩陣與行列式的關系、逆矩陣的求法也是考生需要掌握的知識點。涉及秩的應用，包含秩與矩陣可逆的關系，矩陣及其伴隨矩陣秩之間的關系，矩陣的秩與向量組的秩之間的關系，矩陣等價與向量組等價的區別與聯系，系數矩陣的秩與方程組的解之間關系的分析。
三、向量部分，理解相關無關概念，靈活進行判定。
向量組的線性相關問題是向量部分的重中之重，也是考研線性代數每年必出的考點。要求考生掌握線性相關、線性表出、線性無關的定義。以及如何判斷向量組線性相關及線性無關的方法。 向量組的秩和極大無關組以及向量組等價這些重要的知識點要求同學們一定一定掌握到位。
這是線性代數前三個內容的命題特點，而行列式的矩陣是整個線性代數的基礎，對于行列式的計算及矩陣的運算與一些重要的性質與結論請考生朋友們一定要務必掌握，否則的話，對于后面四部分的學習會越學越難，希望同學們在復習過程中一定注意前面內容的復習，為后面的考研數學復習打好基礎。
前面我們已經分析過，考研數學線性代數這門學科整體的特點是知識點之間的綜合性比較強，有些概念較為抽象，這也是大部分考生認為考研數學線性代數不好學，根本找不到復習的頭緒，做題時也是一頭霧水，不知道怎么分析考慮。
這里，老師要求大家在學習過程中一定要注意知識間之間的關聯性，理解概率的實質。如：矩陣的秩與向量組的秩之間的關聯，矩陣等價與向量組等價的區別，矩陣等價、相似、合同三者之間的區別與聯系、矩陣相似對角化與實對稱矩陣正交變換對角化二者之間的區別與聯系等等。若是同學們對于上面的問題根本分不清楚，則說明大家對于基本概念、基本方法還沒有完全理解透徹。不過，大家也不要太焦急，希望同學們在后期的復習過程中對于基本概念、基本方法要多加理解和體會，學習一定要有心得。
下面我們分析一下后面三部分的內容，線性方程組、特征值與特征向量、二次型的命題特點。
線性方程組，會求兩類方程組的解。線性方程組是線性代數這么學科的核心和樞紐，很多問題的解決都離不開解方程組。因而線性方程組解的問題是每年必考的知識點。對于齊次線性方程組，我們需要掌握基礎解系的概念，以及如何求一個方程組的基礎解系。清楚明了基礎解系所含線性無關解向量的個數和系數矩陣的秩之間的關系。會判斷非齊次線性方程組的解的情況，掌握其求解的方法。此外，考生還需要掌握非齊次線性方程組與其對應的齊次線性方程組的解結構之間的關系。
特征值與特征向量，掌握矩陣對角化的方法。這一部分是理論性較強的，理解特征值與特征向量的定義及性質，矩陣相似的定義，矩陣對角化的定義。同學們還需掌握求矩陣特征值與特征向量的基本方法。會判斷一個矩陣是否可以對角化，若可以的話，需要把相應的可逆矩陣P求出來。還需要注意矩陣及其關聯矩陣（轉置、逆、伴隨、相似）的特征值與特征向量的關系。反問題也是喜歡考查的一類題型，已知矩陣的特征值與特征向量，反求矩陣A。
二次型，理解二次型標準化的過程，掌握實對稱矩陣的對角化。二次型幾乎是每年必考的一道大題，一般考查的是采用正交變換法將二次型標準化。掌握二次型的標準形與規范型之間的區別與聯系。會判斷二次型是否正定的一般方法。討論矩陣等價、相似、合同的關系。
雖然線性代數在考研數學考試試卷中僅有5題，占有34分的分值，但是這34分也不是很輕松就能拿下的。同學們在復習過程中需要對于基礎知識點理解透徹，做考研數學題過程中多分析總結。
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在考研復習過程中，數學始終是難應對的一科，但從實際上來講，只要大家掌握好復習方法，認真復習，考研數學也并不是那么難。為考生們介紹幾點考研數學中線性代數的復習方法。
線性代數一共六章的內容。其中第一章行列式，它在整張試卷中所占比例不是很大，一般以填空題和選擇題為主，但它是必考內容，即便沒有單獨考查的題目，也會在其它的試題中給以考查，如求特征值就是計算相應的行列式。行列式的重點內容是掌握計算行列式的方法，同學們要掌握降階法求行列式，以及其它的像爪型、三對角、范德蒙、行和或列和相等的行列式的求法。矩陣是后面各章節的基礎。矩陣的概念、運算及理論貫穿線性代數的始末。這部分考點較多，像逆矩陣、伴隨矩陣、轉置矩陣、矩陣的冪、矩陣的行列式等概念的定義、性質、運算等等是每年考研的重點內容，同學們在復習的時候一定要注意歸納總結才可能掌握好。
向量組的線性相關性是線性代數的重點也是考研的難點，大家復習的時候一定要吃透向量組線性相關性的概念，熟練掌握有關性質及判定方法并能靈活應用，還要弄清楚線性表出、向量組的秩及線性方程組等之間的聯系，從各個側面加強對線性相關性的理解。歷年考題中，方程組是每年必考的題目，這也是線性代數部分考查的重點內容。要掌握齊次和非齊次線性方程組的解的判定定理，能夠熟練求解線性方程組。
這部分內容是重點考查解答題的章節。特征值和特征向量也是考研的重點內容之一，題多分值大，共有三部分內容：特征值和特征向量的概念及計算、方陣的相似對角化、實對稱矩陣的正交相似對角化。相對而言，這部分計算量是比較大的，復習的`時候一定要加強練習。由于二次型與它的實對稱矩陣是一一對應的，所以二次型的很多問題都可以轉化為它的實對稱矩陣的問題，只要正確寫出二次型所對應的實對稱矩陣，就可以利用相似對角化的方法解決二次型的問題了。解線性方程組和矩陣相似對角化是每年兩道大題最容易考查的地方。
從歷年真題上就可以看出，對基本概念、基本性質和基本方法的考查才是考研數學的重點，真題中所謂的難題也都是在基礎概念、基本性質及基本方法上進行加深的，很多考生由于對這些基礎內容掌握不夠牢固，理解不夠透徹，導致許多不應該失分的現象，這一點在線性代數這個模塊上體現的更加明顯，
所以，考生在復習中一定要重視基本概念、基本性質和基本方法的理解與掌握，多做一些基本題來鞏固基礎知識。
對于線性代數中的基本運算，行列式的計算(數值型、抽象型)，求逆矩陣，求矩陣的秩，求方陣的冪，求向量組的秩與極大線性無關組，線性相關性的判定，求基礎解系，求非齊次線性方程組的通解，求特征值與特征向量，判斷矩陣是否可以相似對角化，求相似對角矩陣，用正交變換法化實對稱矩陣為對角矩陣，用正交變換化二次型為標準形等等。一定要注意總結這些基本運算的運算方法。例如，復習行列式的計算時，就要將各種類型的行列式計算方法掌握清楚，如，行(列)和相等型、爪型、三對角線型，范德蒙行列式等等。
大家復習時一定要注重知識點的銜接與轉換，不斷地歸納總結，努力搞清內在聯系，使所學知識融會貫通，接口與切入點多了，熟悉了，思路自然就開闊了。比如，在復習過程中，我們可以以方程組解的討論為復習主線，弄清楚它與行列式、向量、矩陣、特征值與特征向量之間有什么樣的關系，掌握他們之間的聯系與區別，對線性代數整個知識框架的理解有很大幫助，同時在解題思路和方法上也會有很大的幫助。
在線性代數的兩個大題中，基本上都是多個知識點的綜合。從而達到對考生的運算能力、抽象概括能力、邏輯思維能力和綜合運用所學知識解決實際問題的能力的考核。因此，在打好基礎的同時，通過做一些綜合性較強的習題，邊做邊總結，以加深對概念、性質內涵的理解和應用方法的掌握。在做題過程中，大家一定要注意以下兩點：一是多動筆，數學復習最忌諱光看不練，尤其是線性代數，它的計算量比較大，很多同學考試時因為計算性的錯誤丟分是很常見的，所以多做練習對于鞏固知識點、提高計算能力都有很大幫助;二是多總結，平時在做題的過程中需要注意總結一些解題思路，哪種類型的題需要用什么思路，解題過程中容易出錯的地方在哪里，這樣經過一段時間訓練后，在正式考試中看到相似題型后可以迅速確定用哪種解法，大大提高了解題的速度和效率。
另外，一個試題可能有多種解法，我們應該力求尋找運算路徑短、運算步驟少、運算時間省的解法，以求在考試中爭取時間，通過自己的歸納、總結、加深對數學思想方法的理解，從而達到簡化運算、提高速度的目的。
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本章是第五章的運用，有兩個重點：
一是化二次型為標準形
二是正定二次型
前一個重點主要考查大題，有兩種處理方法：配方法與正交變換法，而正交變換法是考查的重中之重。
10、11、12年均以大題的形式出現，考查的是利用正交變換化二次型為標準形，而13年的最后一道大題考查的也是二次型的題目，但它考查的則是二次型的矩陣表示，另外也考到二次型的標準形，它是通過間接的方式求得特征值然后直接得出標準形的。后一考點正定二次型則以小題為主。14則是以填空題的形式出現的，考查的題目為已知二次型的負慣性指數為1，讓求參數的取值范圍。15年結合對角化考了個選擇題。16年數一結合空間解析幾何考了二次型的標準型，數三、數二正負慣性指數考察。今年數一、數三第21題與數二第3題考察的就是二次型正交對角化問題。
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研究生入學考試中，線性代數考試題型不多，計算方法比較初等，但是往往計算量比較大，導致很多考生對線性代數感到棘手。從理論的角度出發，線性代數的很多概念和性質之間的聯系很多，特別是每年線性代數的兩道大題考試內容，所涉及到的概念與方法之間需要考生著重掌握。從目前階段來看，考生在復習過程中，跨考教育數學教研室李擂老師給廣大考生提出四點復習建議：線性代數的概念很多，重要的有：代數余子式，伴隨矩陣，逆矩陣，初等變換與初等矩陣，正交變換與正交矩陣，秩(矩陣、向量組、二次型)，等價(矩陣、向量組)，線性組合與線性表出，線性相關與線性無關，極大線性無關組，基礎解系與通解，解的結構與解空間，特征值與特征向量，相似與相似對角化，二次型的標準形與規范形，正定，合同變換與合同矩陣。
線性代數中運算法則多，應整理清楚不要混淆，基本運算與基本方法要過關，重要的有：行列式(數字型、字母型)的計算，求逆矩陣，求矩陣的秩，求方陣的冪，求向量組的秩與極大線性無關組，線性相關的判定或求參數，求基礎解系，求非齊次線性方程組的通解，求特征值與特征向量(定義法，特征多項式基礎解系法)，判斷與求相似對角矩陣，用正交變換化實對稱矩陣為對角矩陣(亦即用正交變換化二次型為標準形)。
線性代數從內容上看縱橫交錯，前后聯系緊密，環環相扣，相互滲透，因此解題方法靈活多變，復習時應當常問自己做得對不對，再問做得好不好。只有不斷地歸納總結，努力搞清內在聯系，使所學知識融會貫通，接口與切入點多了，熟悉了，思路自然就開闊了。
文章開頭提到了歷年真題中，兩道大題考試內容?？忌鷳⒁庹莆罩R點間的聯系與區別，例如向量組的秩與矩陣的秩之間的聯系，向量的線性相關性與齊次方程組是否有非零解之間的聯系，向量的.線性表示與非齊次線性方程組解的討論之間的聯系，實對稱陣的對角化與實二次型化標準形之間的聯系等。靈活掌握他們之間的聯系與區別，對做線性代數的兩個大題在解題思路和方法上會有很大的幫助。
線性代數對于抽象性與邏輯性有較高的要求，通過證明題可以了解考生對數學主要原理、定理的理解與掌握程度，考查考生的抽象思維能力、邏輯推理能力。大家復習整理時，應當搞清公式、定理成立的條件，不能張冠李戴，同時還應注意語言的敘述表達應準確、簡明。
4.綜合掌握“一條主線，兩種運算，三個工具”
復習過程中，綜合掌握“一條主線，兩種運算，三個工具”。一條主線是解線性方程組，線代概念非常多而且相互聯系，但線代貫穿的主線求方程組的解，只要將方程組的解的概念和一般方法理解透徹，再回過頭看前面的內容就非常簡單。兩種運算是求行列式、矩陣的初等行（列）變換，三個工具是行列式、矩陣、向量。其中，向量組線性相關性是難點，要理解記憶各條定理，理清其中關系，多做題鞏固知識點。特征向量與二次型雖不難，但年年必考，計算能力要跟上，多做題才能提高正確率。
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名師點撥：考研數學之線性代數復習策略，考研復習的強化階段已經結束，在這段時間，大家應該把所學的知識系統化綜合化。數學題目千變萬化，有各種延伸和變形，考生如果想在考研數學中取得好成績，就一定要認真仔細的復習，重視三基（基本概念、基本方法、基本性質），多思考多總結，做到融會貫通。教材把線性代數的內容分為了六章：行列式、矩陣、線性方程組、向量、特征值和特征向量、二次型。但是從內容上線性代數可以分為三大塊內容：
第一部分，行列式和矩陣。
行列式和矩陣是線性代數的基礎部分，在考試中常以選擇題填空題的形式出題。在這部分，重點內容是行列式的計算，逆矩陣以及初等變換和初等矩陣。其中，行列式是線性代數中最基本的.運算之一，考試直接考查行列式的知識點不多，但作為間接考查的內容，行列式的計算在后續各個章節的題目中都有所涉及。矩陣是線性代數中最基本的內容，線性代數中絕大多數運算都是通過矩陣進行的，其相關的概念和運算貫穿整個學科。線性代數中基本上沒有題目不涉及到矩陣以及矩陣的運算的。
第二部分，線性方程組與向量。
線性方程組與向量是線性代數的核心內容，也是理解線性代數整個學科的樞紐。整個線性代數的前半部分的主要知識點都可以以線性方程組的相關理論為軸串聯起來，后半部分的特征值與特征向量和二次型等理論也是通過線性方程組與前面聯系起來的。因此，考研教育網提醒考生本章是考生系統地把握整個學科的關鍵。在考試中這部分所占的比重非常大，一般每年考查一道大題加一道小題。大題可以考向量組的線性相關性，也可以考含參數的線性方程組求解。
第三部分，特征向量與二次型。
研究生考試中，這部分所涉及的題目多，分值大，特征值與特征向量是線性代數的重要內容，也是重要的考點之一，既是對前面矩陣、線性方程組的知識的綜合應用，也是后面二次型的基礎。二次型是對特征值與特征向量相關知識的發展與應用，用到的方法也與上一章類似，在考試中一般與特征向量交替或是結合出題。
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老生常談的是考研高數是考研途中的攔路虎，但是考生們往往忽視了最容易得分的線性代數。線性代數總分33分，雖然不比高數的84分重要，但是教材只要一本，考試內容及形式都相對固定，如何考生掌握爭正確的復習方法，將34分全部收入囊中并不難。具體該怎么做呢?
對大多數同學來說，線性代數所占分值的33分怎么也比不上高等數學所占的84分重要，所以在復習的時候在心理上就給了分值多的科目更多的關注，而且不論是基礎班、強化班還是沖刺班的復習都是從高等數學開始切入，這導致潛意識上對線性代數的疏遠。這種狀況需要糾正。線性代數的內容不多，重點也很突出，容易掌握，滿分是完全可能的。
考研復習備考的時候每個人都需要輔導資料的幫助，但資料的選擇要合適，可從幾個方面評價：看其是否按考研大綱的要求編寫，看其對基本內容的講述是否深入且易懂，看其層次性是否分明等等，如《線性代數過關與提高》相對來說就適合考生對基礎知識的鞏固及深入理解?？佳?教育網
線性代數的主要考點集中在向量組的相關與無關、線性方程組、特征值與特征向量、二次型上，矩陣與行列式摻雜其中。大綱規定的各個考點都有一些分式需要記憶，同時大家還要注意：書中總結出的.公式與結論在什么時候可以直接用，什么時候不能直接用。對此，很多同學感到迷惑。這里提醒大家，《線性代數過關與提高》中“內容概述”部分的結論都可直接應用，除非題目本身就是證明該公式或結論，“重要公式與結論”部分的結論在解答題中的某個問題的過程中時可直接用，為保險起見，可注明所用公式的原貌?？陀^題中在不違反邏輯關系前提下所有正確的公式都可用。
考研備考的過程比較長，這是對毅力的考驗。當這場馬拉松賽進行到一半時，考研同路人一個個倒下了，你是否還巍然屹立，堅持前行？堅持了，冠軍就可能屬于你，否則，以前的苦就是浪費。
歷年總會有考生因為一分之差惜敗考研戰場，這些經驗告訴我們，考研復習要分分必爭，如果一開始復習大家就在心理上忽視某些學科的學習，長久下去必會產生懶惰心理，就很難講考研復習堅持到最后，希望大家持之以恒，只有走好眼前的每一步，將來才會走的更從容。
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第一章 矩陣與行列式
§1.0 預備知識
1.0.1 集合
1.0.2 數集
1.0.3 數域
1.0.4 求和號∑
§1.1 線性型和矩陣概念的引入
1.1.1 矩陣的定義
1.1.2 常用矩陣
§1.2 矩陣的運算
1.2.1 矩陣的線性運算
1.2.2 矩陣的乘法
1.2.3 方陣的冪與方陣多項式
§1.3 方陣的行列式
1.3.1 行列式的遞歸定義
1.3.2 排列
1.3.3 行列式的等價定義
§1.4 行列式的'基本性質
1.4.1 轉置行列式
1.4.2 行線性性
1.4.3 行列式的初等變換
§1.5 Laplace定理
1.5.1 子式·余子式·代數余子式
1.5.2 Laplace定理
1.5.3 行列式的按行展開與按列展開
1.5.4 方陣乘積的行列式
§1.6 行列式的計算
1.6.1 三角化
1.6.2 降階法與鑲邊法
1.6.3 歸納與遞推
§1.7 可逆矩陣
1.7.1 可逆矩陣
1.7.2 矩陣可逆的條件
1.7.3 逆矩陣的求法
§1.8 分塊矩陣
1.8.1 矩陣的分塊
1.8.2 分塊矩陣的運算
1.8.3 分塊對角矩陣
習題一
第二章 線性方程組理論
§2.1 解線性方程組的消元法
2.1.1 線性方程組的矩陣形式
2.1.2 線性方程組的初等變換
2.1.3 梯矩陣和簡化梯矩陣
§2. 2向量空間Kn
2.2.1 向量空間Kn及其運算性質
2.2.2 子空間
§2.3 向量組的秩
2.3.1 線性組合、線性方程組的向量形式
2.3.2 線性相關與線性無關
2.3.3 極大線性無關組、向量組的秩
§2.4 矩陣的相抵標準形
2.4.1 初等矩陣和矩陣的初等變換
2.4.2 矩陣的秩
2.4.3 矩陣相抵標準形
§2.5 Cramer法則
2.5.1 Cramer法則
2.5.2 求逆矩陣的初等變換法
2.5.3 矩陣方程
§2.6 線性方程組解的結構
2.6.1 線性方程組相容性判別準則
2.6.2 齊次線性方程組的解空間
2.6.3 非齊次線性方程組解的結構
§2.7 分塊矩陣的初等變換
2.7.1 分塊矩陣的初等變換
2.7.2 分塊初等矩陣
2.7.3 行列式和矩陣計算中的分塊技巧
習題二
第三章 相似矩陣
§3.1 方陣的特征值與特征向量
3.1.1 方陣的特征值與特征向量
3.1.2 特征值與特征向量的求法
3.1.3 特征向量的性質
§3.2 矩陣的相似變換
3.2.1 矩陣相似的概念
3.2.2 相似矩陣的性質
§3.3 矩陣相似于對角矩陣的條件
3.3.1 矩陣相似于對角矩陣的條件
3.3.2 特征值的代數重數和幾何重數
3.3.3 矩陣Jordan標準形
§3.4 方陣的最小多項式
3.4.1 方陣的化零多項式
3.4.2 最小多項式
3.4.3 最小多項式與方陣相似于對角矩陣的條件
§3.5 相似標準形的若干簡單應用
3.5.1 行列式求值與方陣求冪
3.5.2 求與給定方陣可交換的方陣
習題三
第四章 二次型與對稱矩陣
§4.1 二次型及其標準形
4.1.1 二次型及其矩陣表示
4.1.2 二次型的標準形
4.1.3 實對稱矩陣的合同標準形
§4.2 慣性定理與二次型分類
4.2.1 慣性定理
4.2.2 二次型的分類
§4.3 正定二次型
4.3.1 正定二次型
4.3.2 二次型正定性判別法
§4.4 正交向量組與正交矩陣
4.4.1 向量的內積
4.4.2 正交向量組
4.4.3 正交矩陣
§4.5 實對稱矩陣的正交相似標準形
4.5.1 實對稱矩陣的特征值和特征向量
4.5.2 實對稱矩陣的正交相似標準形
4.5.3 用正交替換化二次型為標準形
習題四
第五章 線性空間與線性變換
§5.1 線性空間的概念
5.1.1 線性空間的定義
5.1.2 線性空間的簡單性質
5.1.3 線性子空間
§5.2 線性空間的同構
5.2.1 基底，維數與坐標
5.2.2 基變換與坐標變換
5.2.3 線性空間的同構
§5.3 歐氏空間
5.3.1 歐氏空間的定義與基本性質
5.3.2 標準正交基
5.3.3 歐氏空間的同構
§5.4 線性變換
5.4.1 線性變換的概念與運算
5.4.2 線性變換的性質
§5.5 線性變換的矩陣
5.5.1 線性變換在給定基下的矩陣
5.5.2 線性變換在不同基下矩陣間的關系
習題五
索引
參考文獻
? 線性代數課件
本書是為高等院校數學系計算數學專業本科生編寫的數值代數課程的教材. 全書共分八章, 內容包括: 緒論, 求解線性方程組的gauss消去法、平方根法、古典迭代法和共軛梯度法,線性方程組的敏度分析和消去法的舍入誤差分析, 求解線性*小二乘問題的正交分解法, 求解矩陣特征值問題的乘冪法、反冪法、jacobi方法、二分法、分而治之法和qr方法. 本書在SHOU*選材上既注重基礎性和實用性, 又注重反映該學科的*新進展; 在內容的處理上, 在介紹方法的同時, 盡可能地闡明方法的設計思想和理論依據, 并對有關的結論盡可能地給出嚴格而又簡潔的數學證明; 在敘述表達上, 力求清晰易讀, 便于教學與自學. 每章后配置了較豐富的練習題和上機習題, 其目的是為學生提供足夠的練習和實踐的素材, 以便學生復習、鞏固和拓廣課堂所學知識.
這是本書的第二版. 該版是在保持**版的基本結構不變的前提下做了一些必要的修訂.
本書可作為綜合大學、理工科大學、高等師范院校計算數學、應用數學、工程計算等專業本科生的教材或教學參考書, 也可供從事科學與工程計算的科技人員參考.
? 線性代數課件
線性代數的課堂教學方式的創新線性代數課程是以討論有限維空間線性理論為主的課程，具有較強的抽象性與邏輯性。在當前的線性代數課程教學中，采用的基本是講授式教學法。講授式教學法就是老師通過語言給學生傳授知識的教學方法。講授法采取定論的形式直接向學生傳遞知識，不僅避免了認識過程中的許多不必要的曲折和困難，而且具有無法取代的簡捷和高效兩大優點。但是講授式教學法如果運用不當， 很容易使教學失去生機而成為填鴨式、一言堂等帶有貶義色彩的教法代表。探究式教學是指學生在學習概念和原理時，教師只是給他們一些事例和問題，讓學生自己通過閱讀、觀察、實驗、思考等途徑去獨立探究，自行發現并掌握相應的原理和結論的一種方法。隨著探究式教學法、個別教學法等現代教學方法的崛起，傳統的講授式教學法作為滿堂灌的教法代表而成為眾矢之的。本文結合線性代數課程的特點和多年的教學實踐體會，分析了講授式教學法和探究式教學法在線性代數課程中的可行性。
一、講授式教學法是其他教學方法的基礎
講授法依舊是課堂教學中的一種重要的教學方法，尤其對于一些深奧、難懂，不易探究或不能探究的教學內容，我們仍需用到講授法。從教的角度來看，任何方法都離不開教師的“講”,講授是其他方法的工具，教師只有講得好，其他各種方法的有效運用才有了前提。從學的角度來看，講授法也是學生學習的一種最基本的方法，其他各種學習方法的掌握大多是建立在講授法的基礎上。講授式教學法中，教師可通過口頭語言、多媒體或者模型向學生系統地傳授科學文化知識，不需要做大量的配套設施準備，便于廣泛運用。離開講授法，各種教與學的方法都易成為無土之木，無源之水。講授式教學過程中應盡量想辦法講得有趣。譬如線性方程組來源于實際問題，我們就可以這樣來引入線性方程組?？催@樣的趣題：隔墻聽得賊分銀，不知人數不知銀，七兩分之多四兩，九兩分之少半斤（注：古秤十六兩為一斤）。實際上求人數和銀兩數的問題就是求解一個簡單的二元一次線性方程組。學生的興趣馬上就來了。
二、講授式教學法能更好地解決線性代數教學面臨的內容與學時的矛盾
線性代數教學時數一般為48學時，傳統的線性代數教學內容體系要求面面俱到，理論上追求嚴謹，有些工科院校把向量代數與空間解析這一塊內容也納入進去，因而教學內容相對較多。對同一教學內容，探究式教學法，耗時更長，在課時比較少的學科實施探究式教學時只能夠選擇性應用。而利用講授式教學法可以合理安排教學的主要內容及重點進行講授式教學。切忌貪多求全及平均使用力量和時間。教師可以事先在教學組織上狠下功夫，形成精練的課堂教學內容，甚至在備課環節把講授時所用的語言都準備好。抓住主要問題形成精練的講授內容。對教學內容須分清主次，從而以基本概念、基本理論、基本方法等主要內容為核心形成精練的內容。對這些內容，保證學時，講透徹。而其他內容，應根據學生的實際情況，可簡明扼要地講解，或者在教師引導下學生自學。教師要注意運用精練的表達，對講授的語言、板書的運用都講究精練。除此之外，將多媒體技術引入教學中來，提前準備好教學課件，把書寫冗長的定義、定理的時間節省出來，用于解釋定義的背景、定理的證明及應用，把寶貴的課堂教學時間充分利用起來。
三、借助探究式教學法解決線性代數內容從抽象到具體的矛盾線性代數的內容抽象，要掌握其原理與方法，必須具備較強的抽象思維能力，即對形式概念的理解能力和形式邏輯的演繹能力，這導致學生在學習的過程中，普遍感到概念難以理解，內容不易接受，面對具體的問題經常茫然不知所措，不知從何處下手。譬如向量組與極大線性無關組的關系，我們可以這樣具體化來理解。我們班有很多人（對應一個向量組），但如果認為任意兩個男生是線性相關的，任意兩個女生也是線性相關的，則其實只有兩個人即男生和女生（對應一個極大線性無關組），任選一個男生和一個女生就可以代表我們整個班（一個向量組的極大線性無關組不唯一）。事實上，對線性代數中的那些抽象的理論，我們完全可以通過提問，借助于探究式教學法，讓學生自己去尋找這樣有趣的具體化解釋，然后讓他們自己討論，優中取優，讓學生準確理解概念，這樣就能使課程中枯燥的內容變得豐富多彩，就會使那些死的東西活起來，會使那些抽象的東西實際起來，使那些難懂的東西親切起來，變得被學生樂意接受。
四、借助探究式教學法突出線性代數所蘊含的數學文化
數學不僅僅是一種“思維體操”.隨著人們對數學更深層次的認識，數學的文化現象已明顯地凸現了出來。我們學習數學不僅是為了獲取知識，更能通過數學學習接受數學精神、數學思想和數學方法的熏陶，提高思維能力，鍛煉思維品質。數學文化的教育應該成為數學教育的根本點。線性代數作為一門大學數學基礎課程也不例外。線性代數中充盈著豐富的數學文化。借助探究式教學法，我們可以通過提問等方式讓學生自己去摸索、總結心得體會。譬如，矩陣的初等變換這個概念我們說非常重要，類似于《西游記》里的照妖鏡。一個看上去很復雜的東西，容易被其表象所蒙騙時，我們用照妖鏡照一下就露出本質來了。那么初等變換照出來的本質是什么呢？原來就是矩陣的秩。這一思想繼續引導學生提升：數學是在干什么？原來數學就是研究一個對象（線性方程組或者是矩陣）在一一對應下（初等變換或者說照妖鏡）所得到的另一個對象（簡化階梯型矩陣）。當然，后一對象要比前一對象簡單易懂才能真正解決問題。這就體現出數學的文化內涵：轉化就是創新。又如，線性方程組來源于實際問題，而為了對線性方程組求解，我們得到了矩陣理論，然后我們又利用矩陣理論來解決二次型的標準化問題。這種理論來源于實踐，反過來理論又能指導實踐的方法，正符合馬克思主義哲學中辯證唯物主義的認識論。因此，學習線性代數，可以幫助我們更好地認識自然，了解世界，適應生活；它可以促進我們有條理地思考，有效地表達與交流，不僅僅運用數學具體的知識去分析問題和解決問題，更能運用數學的思想文化去分析問題和解決問題。
可見，這兩種教學方法各有所長，教學過程當中既要有教師主動的精練講解，又要在教師的引導下，以學生為主體，讓學生自覺地、主動地探索，掌握認識和解決問題的方法和步驟，研究客觀事物的屬性，發現事物發展的起因和事物內部的聯系，從中找出規律，形成自己的概念。在樹立新的教學理念的同時，不應該完全摒棄傳統的教學觀念，應使兩者有機結合， 取長補短，從而更為合理地安排教學。
【參考文獻】
[1]孫艷，呂堂紅。線性代數課程教學改革的實踐與思考[J].長春理工大學學報（社會科學版），2007（1）：105-106.
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